Gleichungen lösen
Einfach erklärt mit Beispielen

Klasse 7-10Algebra

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist wie eine Waage: Links und rechts vom Gleichheitszeichen steht derselbe Wert. Deine Aufgabe: Finde heraus, welche Zahl für x eingesetzt werden muss, damit die Gleichung stimmt.

Beispiel:

2x + 3 = 11

Gesucht: Welcher Wert für x macht diese Aussage wahr?

⚖️ Die goldene Regel

Was du links machst, machst du auch rechts!

Das nennt man Äquivalenzumformung. Die Waage bleibt im Gleichgewicht.

Erlaubte Umformungen

✓ Addieren

Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren

x - 5 = 3 | +5

✓ Subtrahieren

Auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren

x + 7 = 12 | -7

✓ Multiplizieren

Beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren

x/4 = 3 | ·4

✓ Dividieren

Beide Seiten durch dieselbe Zahl teilen (≠0)

3x = 15 | :3

Gleichung lösen – Schritt für Schritt

Klammern auflösen

Falls vorhanden, löse alle Klammern auf (ausmultiplizieren).

Terme zusammenfassen

Fasse auf jeder Seite gleichartige Terme zusammen.

x auf eine Seite bringen

Bringe alle Terme mit x auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere.

Nach x auflösen

Dividiere durch die Zahl vor x, um x alleine zu erhalten.

Beispiel 1: Einfache Gleichung

Aufgabe:

3x + 7 = 22

Schritt 1: -7 auf beiden Seiten

3x + 7 = 22 | -7
3x = 15

Schritt 2: :3 auf beiden Seiten

3x = 15 | :3
x = 5

Lösung: x = 5

Probe: 3·5 + 7 = 15 + 7 = 22 ✓

Beispiel 2: x auf beiden Seiten

Aufgabe:

5x - 3 = 2x + 9

Schritt 1: -2x auf beiden Seiten

5x - 3 = 2x + 9 | -2x
3x - 3 = 9

Schritt 2: +3 auf beiden Seiten

3x - 3 = 9 | +3
3x = 12

Schritt 3: :3 auf beiden Seiten

3x = 12 | :3
x = 4

Lösung: x = 4

Probe: 5·4 - 3 = 17 und 2·4 + 9 = 17 ✓

Beispiel 3: Mit Klammern

Aufgabe:

2(x + 4) = 3x - 1

Schritt 1: Klammer auflösen

2x + 8 = 3x - 1

Schritt 2: -2x auf beiden Seiten

8 = x - 1

Schritt 3: +1 auf beiden Seiten

9 = x

Lösung: x = 9

⚠️ Typische Fehler vermeiden

Fehler: Nur eine Seite umformen

Immer BEIDE Seiten mit derselben Operation umformen!

Fehler: Vorzeichen vergessen

Beim Umformen auf Vorzeichen achten: -(-5) = +5

Fehler: Klammer falsch auflösen

2(x + 4) = 2x + 8 (nicht 2x + 4!)

Häufige Fragen

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, bei der zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Die gesuchte Zahl (meist x) macht die Gleichung wahr.

Was sind Äquivalenzumformungen?

Äquivalenzumformungen sind Umformungen, die auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden. Sie verändern die Lösung nicht. Beispiele: Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.