Lineare Funktionen
Einfach erklärt mit Beispielen

Klasse 8-9Algebra

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist. „Linear" kommt vom lateinischen „linea" (Linie). Lineare Funktionen beschreiben gleichmäßige Veränderungen.

Allgemeine Form:

f(x) = mx + b

m = Steigung (wie stark steigt/fällt die Gerade)

b = y-Achsenabschnitt (wo schneidet die Gerade die y-Achse)

Beispiel: f(x) = 2x + 3

Steigung m = 2, y-Achsenabschnitt b = 3

Beispiel: f(x) = -0,5x + 1

Steigung m = -0,5, y-Achsenabschnitt b = 1

Die Steigung m

Die Steigung gibt an, wie stark eine Gerade steigt oder fällt. Sie beschreibt das Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung.

Steigungsformel:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = Δy / Δx

↗️

m > 0

Steigende Gerade

➡️

m = 0

Horizontale Gerade

↘️

m < 0

Fallende Gerade

💡 Merkhilfe: Steigungsdreieck

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck an der Geraden: Die Steigung ist „Höhe geteilt durch Breite".

Funktionsgleichung aufstellen – Schritt für Schritt

Steigung berechnen

Berechne die Steigung m mit der Formel: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Punkt einsetzen

Setze einen der Punkte und die Steigung in f(x) = mx + b ein

Nach b auflösen

Löse die Gleichung nach b (y-Achsenabschnitt) auf

Funktionsgleichung aufschreiben

Schreibe die vollständige Funktionsgleichung f(x) = mx + b

Beispiel mit Lösung

Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch P(2|5) und Q(4|9).

Schritt 1: Steigung berechnen

m = (9 - 5) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2

Schritt 2: Punkt P(2|5) einsetzen

5 = 2 · 2 + b
5 = 4 + b

Schritt 3: Nach b auflösen

b = 5 - 4 = 1

Lösung: f(x) = 2x + 1

Probe mit Q(4|9): f(4) = 2·4 + 1 = 9 ✓

⚠️ Typische Fehler vermeiden

Fehler: x und y vertauscht

Bei der Steigungsformel: m = Δy / Δx (nicht Δx / Δy!)

Fehler: Vorzeichen verwechselt

Bei negativen Koordinaten genau auf die Vorzeichen achten!

Fehler: Steigung und y-Achsenabschnitt verwechselt

In f(x) = mx + b ist m die Steigung, b der y-Achsenabschnitt

Häufige Fragen

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = mx + b. Ihr Graph ist eine Gerade. m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt.

Wie berechnet man die Steigung?

Die Steigung m berechnet sich aus zwei Punkten P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) mit der Formel: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). Sie gibt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt.