Potenzen & Wurzeln
Potenzgesetze & Wurzelrechnung einfach erklärt
Grundbegriffe
aⁿ
Basis a wird n-mal multipliziert
ⁿ√a
Die n-te Wurzel aus a
Die wichtigsten Potenzgesetze
Gleiche Basis – Multiplikation
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Beispiel: 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Gleiche Basis – Division
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Beispiel: 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625
Potenz einer Potenz
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
Beispiel: (3²)³ = 3⁶ = 729
Gleicher Exponent – Multiplikation
aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ
Beispiel: 2³ · 5³ = 10³ = 1000
Negativer Exponent
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Beispiel: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
Anwendung – Schritt für Schritt
Basis und Exponent erkennen
Identifiziere die Basis (Grundzahl) und den Exponenten (Hochzahl): aⁿ = a · a · … · a (n-mal).
Potenzgesetz auswählen
Wähle das passende Potenzgesetz: Multiplikation (gleiche Basis), Division, Potenz einer Potenz.
Gesetz anwenden
Wende das Potenzgesetz an und vereinfache den Ausdruck.
Ergebnis berechnen oder vereinfachen
Berechne das Ergebnis oder lasse es als Potenz / Wurzel stehen.
Beispiel 1: Potenzen vereinfachen
Aufgabe:
Vereinfache: 2⁴ · 2³ ÷ 2⁵
Schritt 1: Multiplikationsregel
2⁴ · 2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷
Schritt 2: Divisionsregel
2⁷ ÷ 2⁵ = 2⁷⁻⁵ = 2²
Lösung: 2² = 4
Beispiel 2: Wurzel berechnen
Aufgabe:
Berechne: √(3² · 4²)
Wurzelregel anwenden:
√(3² · 4²) = √3² · √4² = 3 · 4
Lösung: 12
√(a² · b²) = a · b – Wurzel und Quadrat heben sich auf!
⚠️ Typische Fehler vermeiden
Fehler: Exponenten addieren bei Multiplikation verschiedener Basen
2³ · 3³ ≠ 6⁶! Richtig: 2³ · 3³ = (2·3)³ = 6³ = 216
Fehler: (a + b)² = a² + b²
Falsch! Richtig: (a + b)² = a² + 2ab + b² – das Doppelprodukt fehlt!
Fehler: Negativer Exponent = negative Zahl
2⁻³ ≠ -8! Richtig: 2⁻³ = 1/8 (positiv!)
Häufige Fragen
Was ist eine Potenz?
Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für wiederholte Multiplikation. Zum Beispiel: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Die 2 ist die Basis, die 3 der Exponent.
Was ist eine Wurzel?
Die Wurzel ist die Umkehroperation des Potenzierens. √9 = 3, weil 3² = 9. Allgemein: ⁿ√a = b bedeutet bⁿ = a.
Was ergibt a⁰?
Jede Zahl (außer 0) hoch Null ergibt 1. Also: a⁰ = 1 für a ≠ 0. Das folgt aus dem Potenzgesetz aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰ = 1.
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