Satz des Pythagoras
a² + b² = c² – Einfach erklärt
Der Satz des Pythagoras
a² + b² = c²
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.
Was bedeutet das?
Katheten (a und b)
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden (die kürzeren Seiten).
Hypotenuse (c)
Die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
💡 Merkhilfe
Der rechte Winkel „zeigt" auf die Hypotenuse. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite!
Anwendung – Schritt für Schritt
Rechten Winkel finden
Identifiziere den rechten Winkel (90°) im Dreieck.
Seiten benennen
Die Hypotenuse (c) liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Katheten (a, b) bilden den rechten Winkel.
Formel aufstellen
Setze die bekannten Werte in a² + b² = c² ein.
Auflösen und Wurzel ziehen
Löse nach der gesuchten Seite auf und ziehe die Wurzel.
Beispiel 1: Hypotenuse berechnen
Aufgabe:
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Berechne die Hypotenuse c.
Formel einsetzen:
c² = a² + b²
c² = 3² + 4²
c² = 9 + 16
c² = 25
Wurzel ziehen:
c = √25 = 5
Lösung: c = 5 cm
Das ist das berühmte „3-4-5-Dreieck"!
Beispiel 2: Kathete berechnen
Aufgabe:
c = 13 cm und a = 5 cm. Berechne b.
Formel umstellen:
a² + b² = c²
b² = c² - a²
Einsetzen und berechnen:
b² = 13² - 5²
b² = 169 - 25
b² = 144
b = √144 = 12
Lösung: b = 12 cm
Die Umkehrung
Wenn a² + b² = c², dann ist das Dreieck rechtwinklig.
Mit dieser Umkehrung kann man prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist!
Beispiel: Ist das Dreieck mit a=6, b=8, c=10 rechtwinklig?
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ✓
→ Ja, das Dreieck ist rechtwinklig.
⚠️ Typische Fehler vermeiden
Fehler: Hypotenuse nicht als längste Seite
c muss IMMER die längste Seite sein (gegenüber dem rechten Winkel)!
Fehler: Formel bei nicht-rechtwinkligen Dreiecken
Der Satz gilt NUR für rechtwinklige Dreiecke!
Fehler: Wurzel vergessen
c² = 25 → c = 5 (nicht c = 25!)
Häufige Fragen
Was besagt der Satz des Pythagoras?
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat. Formel: a² + b² = c²
Was ist die Hypotenuse?
Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Wann kann man den Satz des Pythagoras anwenden?
Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke (ein Winkel = 90°). Er wird verwendet, um fehlende Seitenlängen zu berechnen.
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