Quadratische Gleichung
Was ist das? Einfach erklärt mit Beispielen

Klasse 9-10AlgebraLesezeit: ca. 5 Minuten

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable xhöchstens in der zweiten Potenz (x²) vorkommt. Der Name kommt vom lateinischen „quadratus" (Quadrat), weil x² die Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge x beschreibt.

Allgemeine Form:

ax² + bx + c = 0

wobei a ≠ 0

Normalform (für pq-Formel):

x² + px + q = 0

Der Koeffizient vor x² ist 1

Quadratische Gleichung lösen – Schritt für Schritt

Normalform herstellen

Bringe die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0. Der Koeffizient vor x² muss 1 sein.

p und q ablesen

Lies die Werte für p (Koeffizient vor x) und q (konstantes Glied) ab.

In pq-Formel einsetzen

Setze p und q in die pq-Formel ein: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Diskriminante prüfen

Prüfe den Wert unter der Wurzel (Diskriminante): positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine reelle Lösung

Lösungen berechnen

Berechne x₁ und x₂ durch Addition bzw. Subtraktion des Wurzelterms.

Die pq-Formel

x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Die pq-Formel gilt für quadratische Gleichungen in Normalform: x² + px + q = 0

Beispiel mit Lösung

Aufgabe:

x² - 6x + 8 = 0

Schritt 1: Normalform prüfen

Die Gleichung ist bereits in Normalform (Koeffizient vor x² ist 1).
→ p = -6, q = 8

Schritt 2: In pq-Formel einsetzen

x₁,₂ = -(-6)/2 ± √((-6/2)² - 8)
x₁,₂ = 3 ± √(9 - 8)
x₁,₂ = 3 ± √1
x₁,₂ = 3 ± 1

Schritt 3: Lösungen berechnen

x₁ = 3 + 1 = 4
x₂ = 3 - 1 = 2

Lösung: x₁ = 4 und x₂ = 2

Probe: 4² - 6·4 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0 ✓

⚠️ Typische Fehler vermeiden

Fehler: Normalform vergessen

Bei 2x² + 4x - 6 = 0 erst durch 2 teilen: x² + 2x - 3 = 0

Fehler: Vorzeichen von p verwechselt

Bei x² - 6x + 8 = 0 ist p = -6 (negativ!), nicht +6

Fehler: Wurzel aus negativer Zahl

Wenn (p/2)² - q negativ ist → keine reelle Lösung!

Häufige Fragen

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable x höchstens in der zweiten Potenz (x²) vorkommt. Die allgemeine Form lautet: ax² + bx + c = 0.

Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?

Beide lösen quadratische Gleichungen. Die pq-Formel setzt Normalform voraus (Koeffizient vor x² ist 1). Die Mitternachtsformel (abc-Formel) funktioniert auch ohne Normalform und ist in manchen Bundesländern üblicher.

Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung?

Eine quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn die Diskriminante (der Wert unter der Wurzel) negativ ist. In diesem Fall gibt es nur komplexe Lösungen.