Trigonometrie
Sinus, Kosinus & Tangens einfach erklärt
Die drei Winkelfunktionen
Sinus
sin α
= Gegenkathete / Hypotenuse
Kosinus
cos α
= Ankathete / Hypotenuse
Tangens
tan α
= Gegenkathete / Ankathete
Die Seiten im rechtwinkligen Dreieck
Hypotenuse
Die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.
Gegenkathete
Liegt dem betrachteten Winkel α gegenüber.
Ankathete
Liegt am betrachteten Winkel α an (nicht die Hypotenuse).
💡 Merksatz: „SoH-CaH-ToA"
Sinus = opposite / Hypotenuse | Cosinus = adjacent / Hypotenuse | Tangens = opposite / Adjacent
Welche Funktion brauche ich?
Anwendung – Schritt für Schritt
Rechten Winkel und Hypotenuse markieren
Finde den rechten Winkel (90°). Die gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse.
Gegenkathete und Ankathete bestimmen
Vom betrachteten Winkel α aus: gegenüberliegende Seite = Gegenkathete, anliegende Seite = Ankathete.
Passende Winkelfunktion wählen
Wähle sin, cos oder tan je nachdem, welche Seiten gegeben/gesucht sind.
Gleichung aufstellen und auflösen
Setze die Werte ein, löse nach der gesuchten Größe auf und berechne das Ergebnis.
Beispiel 1: Seite berechnen
Aufgabe:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 30° und die Hypotenuse c = 10 cm. Berechne die Gegenkathete a.
Funktion wählen (Gegenkathete + Hypotenuse → Sinus):
sin α = Gegenkathete / Hypotenuse
sin 30° = a / 10
Auflösen:
a = 10 · sin 30°
a = 10 · 0,5
Lösung: a = 5 cm
Beispiel 2: Winkel berechnen
Aufgabe:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a = 4 cm und die Ankathete b = 3 cm. Berechne den Winkel α.
Funktion wählen (Gegenkathete + Ankathete → Tangens):
tan α = Gegenkathete / Ankathete
tan α = 4 / 3
tan α ≈ 1,333
Umkehrfunktion (tan⁻¹) anwenden:
α = tan⁻¹(1,333)
Lösung: α ≈ 53,13°
Wichtige Werte auswendig
| Winkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | ≈ 0,866 | ≈ 0,577 |
| 45° | ≈ 0,707 | ≈ 0,707 | 1 |
| 60° | ≈ 0,866 | 0,5 | ≈ 1,732 |
| 90° | 1 | 0 | — |
⚠️ Typische Fehler vermeiden
Fehler: Taschenrechner auf RAD statt DEG
Stelle deinen Taschenrechner auf DEG (Grad), nicht RAD (Bogenmaß)!
Fehler: Gegen- und Ankathete verwechseln
Die Zuordnung hängt vom betrachteten Winkel ab! Immer erst den Winkel markieren.
Fehler: Bei nicht-rechtwinkligen Dreiecken anwenden
Sin, Cos, Tan (in dieser Form) gelten nur für rechtwinklige Dreiecke. Sonst: Sinussatz oder Kosinussatz verwenden.
Häufige Fragen
Was ist Trigonometrie?
Trigonometrie ist die Lehre von den Beziehungen zwischen Winkeln und Seitenlängen in Dreiecken. Die wichtigsten Funktionen sind Sinus, Kosinus und Tangens.
Wann benutzt man Sinus, wann Kosinus, wann Tangens?
Sinus: Gegenkathete und Hypotenuse. Kosinus: Ankathete und Hypotenuse. Tangens: Gegenkathete und Ankathete. Merksatz: GAGA-HüHü-GAGA → Gegenkathete/Ankathete = tan, Gegenkathete/Hypotenuse = sin, Ankathete/Hypotenuse = cos.
Wie berechnet man einen Winkel aus den Seiten?
Um den Winkel zu berechnen, verwendest du die Umkehrfunktionen: α = sin⁻¹(Gegenkathete/Hypotenuse) oder α = cos⁻¹(Ankathete/Hypotenuse) oder α = tan⁻¹(Gegenkathete/Ankathete).
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