Wahrscheinlichkeitsrechnung
Laplace, Baumdiagramm & Pfadregeln

Klasse 7–10Stochastik

Die Laplace-Formel

P(E) = g / n

g = Anzahl günstiger Ergebnisse | n = Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Grundbegriffe

Zufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang (z. B. Würfeln, Münzwurf, Kartenziehen).

Ergebnis & Ereignis

Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang. Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen.

Ergebnisraum Ω

Die Menge aller möglichen Ergebnisse. Beim Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Gegenwahrscheinlichkeit

P(Ē) = 1 − P(E). Die Wahrscheinlichkeit, dass E NICHT eintritt.

Die Pfadregeln (Baumdiagramm)

1. Pfadmultiplikationsregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades = Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

P(Pfad) = P₁ · P₂ · P₃ · …

2. Pfadadditionsregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = Summe aller Pfade, die zum Ereignis führen.

P(Ereignis) = P(Pfad₁) + P(Pfad₂) + …

Anwendung – Schritt für Schritt

Ergebnisraum bestimmen

Liste alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments auf (Ergebnisraum Ω).

Günstiges Ereignis zählen

Bestimme, wie viele Ergebnisse zum gewünschten Ereignis gehören.

Laplace-Formel anwenden oder Pfadregeln nutzen

Bei Gleichverteilung: P = günstige / mögliche Ergebnisse. Bei mehrstufigen Versuchen: Baumdiagramm zeichnen.

Ergebnis als Bruch, Dezimalzahl und Prozent angeben

Gib die Wahrscheinlichkeit in der geforderten Form an. Der Wert liegt immer zwischen 0 und 1 (0 % und 100 %).

Beispiel 1: Würfel (Laplace)

Aufgabe:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Würfel eine Zahl größer als 4 zu würfeln?

Ergebnisraum bestimmen:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n = 6

Günstige Ergebnisse zählen:

E = {5, 6} → g = 2

Laplace-Formel:

P(E) = g / n = 2 / 6 = 1/3

Lösung: P = 1/3 ≈ 33,3 %

Beispiel 2: Zweimaliges Münzwerfen (Baumdiagramm)

Aufgabe:

Eine Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu werfen?

Alle Pfade:

KK (½ · ½ = ¼)
KZ (½ · ½ = ¼)
ZK (½ · ½ = ¼)
ZZ (½ · ½ = ¼)

Über Gegenwahrscheinlichkeit:

P(kein Kopf) = P(ZZ) = ¼
P(mind. 1 Kopf) = 1 − ¼ = ¾

Lösung: P = 3/4 = 75 %

⚠️ Typische Fehler vermeiden

Fehler: Laplace bei ungleichen Wahrscheinlichkeiten

Die Laplace-Formel gilt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (fairer Würfel, ideale Münze)!

Fehler: Pfade addieren statt multiplizieren

Entlang eines Pfades wird multipliziert! Addiert werden nur verschiedene Pfade zum selben Ereignis.

Fehler: „Mit" und „ohne" Zurücklegen verwechseln

Ohne Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich im 2. Zug! Die Gesamtanzahl wird kleiner.

Häufige Fragen

Was ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit?

Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich (z. B. fairer Würfel). Die Wahrscheinlichkeit ist dann: P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Was sind die Pfadregeln?

1. Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. 2. Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Was bedeutet 'mit Zurücklegen' und 'ohne Zurücklegen'?

Mit Zurücklegen: Das gezogene Element wird zurückgelegt, die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich. Ohne Zurücklegen: Das Element wird nicht zurückgelegt, die Wahrscheinlichkeiten ändern sich bei jedem Zug.